Вы ищете github webhooks . Скорее всего, вам потребуется настроить веб-сервер на той коробке Ubuntu, которую github может пропинговать, когда определенные события запускаются в вашем репо.
Затем сервер может проверить, что запрос поступил от github (см. защитите свои веб-хуки ) и запустите некоторый скрипт (это может быть базовый c bash скрипт), который выполняет обслуживание вашего сайта (резервное копирование, извлечение, повторное развертывание и т. д. c.).