Нет, динамическое изменение этого параметра невозможно после запуска приложения. Возможный обходной путь, предложенный в этой статье , состоит в том, чтобы проверить в Application_Start, нужно ли установить строку подключения, и если да, то измените web.config, что приведет к перезагрузке домена приложения.
ИМХО, лучший способ управлять различными строками подключения в разных средах - это сделать шаг в процессе сборки, который вносит необходимые изменения в web.config перед развертыванием.