У обработчика кнопки нет сведений о том, на какую кнопку она реагирует, но это не позволит вам использовать тот же объект.
сделать новый конструктор, который принимает объект кнопки, является ключом
//...
ButtonHandler handler = new ButtonHandler(button);
//...
, а затем
private class ButtonHandler implements ActionListener {
private JButton button;
ButtonHandler( JButton button) { this.button = button; }
public void actionPerformed(ActionEvent event){
if (event.getSource() == button){ // <--- "button can not be resolved"
System.out.println("Hello");
}
}