Я посмотрел на Browser.setDockTile (из DevTools API), и оказалось, что изменение значка дока возможно. Тем не менее, я не нашел способа удалить программу из дока (запуск происходит без заголовка, но мне нужно, чтобы браузер был постоянно заполнен).
В настоящее время я автоматизирую Chromium с помощью Puppeteer.