Я считаю, что ваша проблема в том, что вы используете $ .get, но вы пытаетесь получить значение в вашем PHP из переменной $ _POST, в которой ничего не будет, она будет в переменной $ _GET.
Я предлагаю вам изменить ajax вызов на использование $. ajax
<script type="text/javascript">
$('#search_button').click(function(){
var keywords = $('#search_text').val().trim();
$.ajax({
url: "search.php",
data: {search_text: keywords},
method: 'POST',
success:function(data){
$('#result').html(data);
},
});
</script>
Первый ключ в массиве данных должен совпадать с ключом, который вы используете в PHP для сбора значение от $ _POST