Вам нужно будет добавить конфигурацию соединения в основной проект Web API. Просто скопируйте соответствующий раздел из вашей конфигурации библиотеки классов в ваш веб-API.
Причина проста, решение будет создано, ваша библиотека классов станет DLL, и эта DLL будет скопирована в папку bin веб-API. и загружается оттуда.
Веб-интерфейс API не имеет сведений о соединении в своей конфигурации, поэтому вы получаете эту проблему.