Если вам нужны только имена, вы можете сохранить их как строки в вашем массиве:
const names = response.data.results.map(obj => obj.name);
this.setState( { peopleList: names })
Затем вы можете отобразить их, используя карту:
{this.state.peopleList.map((name, i) => <li key={i}>{name}</li>)}
Каждый сгенерированный элемент по карте нужен уникальный key
, здесь я использую второй параметр карты, который является индексом человека в массиве