Пазл со свастикой для решения n queens

Question

8-группа G симметрий действует на решения головоломки n Queen. Помимо тождества G имеет 4 отражения и 3 поворота. Ни одно решение не является инвариантным относительно отражений, поскольку это движения ферзя, но они могут быть инвариантными относительно поворотов. Существует два вида таких решений: те, которые инвариантны только при повороте на 180 градусов, и те, которые инвариантны даже при повороте на 90 градусов и, следовательно, при ВСЕХ поворотах. Последние я называю ротационно-симметричными решениями или решениями свастики, потому что они действительно имеют форму свастики.

Орбита решения rot180 симметрии c под действием G имеет длину 4. Однако орбита решения свастики имеет только длину 2. Если свастика поворачивается по часовой стрелке, применение любого отражения к ней переключит это поворот против часовой стрелки и наоборот.

Мой первый вопрос: для каких n существуют решения со свастикой? Я вычислил их все от n = 4 до n = 20. Вот количество решений для каждого n:

4   2
5   2
12  8
13  8
16  64
17  128
20  464

У n, не перечисленных, есть ноль решений свастики! Есть в два раза меньше орбит, чем это. Для n = 12 я посмотрел на эту свастику: aEbCcKdFeLfIgDhAiGjBkJlH. Я использую шахматную запись, за исключением того, что a1, a2 et c заменены на aA, aB et c. Для n = 13 я посмотрел на aCbFcMdEeJfLgGhBiDjIkAlHmK. У него королева посередине и она вращается против часовой стрелки. Вот оно:

      *                              
               *                    
                                   *
            *                       
                           *        
                                 *  
                  *                 
   *                                
         *                          
                        *           
*                                  
                     *              
                              *     

Я ищу алгоритм, который для каждого n строит одно решение свастики с небольшим или отсутствующим поиском, если он существует. А еще лучше, много таких алгоритмов! Энтропия состояния решения головоломки растет линейно с n, так что для больших n у человека есть большая артистическая свобода. Я предполагаю, что то же самое верно для состояния решения свастики, но я не уверен в этом. Это еще один вопрос, на который я хочу ответить. Для n бесконечен, есть ли решение, состоящее из бесконечного числа концентрированных c свастик, чередующихся между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки? Существует ли решение, состоящее из бесконечного множества конечных неконцентрированных свастик, подобных спиральным галактикам во вселенной?