Вы должны увидеть, что происходит в вашей консоли. когда размер элемента можно изменить, к нему будет добавлено много внутренних элементов.
если вы измените innerHTML элемента, эти элементы, добавленные для изменения размера, также потеряются. так что изменить размер не получится. попробуйте как ниже.
$('.editme').keypress(function(){
var targetid = event.target.id;
var txt = $('#addTxtBox1').val();
var temptxt = $('#temptxt').val(); //take hidden txt value which is reside in div
$('#temptxt').val(txt); //assign edited value again in hidden variable
var tempselection = $(this);
$(tempselection).resizable("destroy"); // remove the resizability from the element
var temphtml = $(tempselection).html().replace(temptxt,txt);
$(tempselection).html(temphtml);
$(tempselection).resizable(); // add the resizability again
});