Чтобы подключиться к локальному эмулятору, вы просто создаете новый экземпляр клиента Cosmos с этой конечной точкой и ключом.
CosmosClient client = new CosmosClient("https://localhost:8081", "C2y6yDjf5/R+ob0N8A7Cgv30VRDJIWEHLM+4QDU5DE2nQ9nDuVTqobD4b8mGGyPMbIZnqyMsEcaGQy67XIw/Jw==");
надеюсь, что это будет полезно.