Я нашел решение с помощью службы поддержки.
Сначала вам нужно получить такой токен:
curl --location --request POST 'https://YOUR.SITE/api/v1/issue-token' \
--header 'Content-Type: application/json' \
--data-raw '{
"username" : "YOUR EMAIL",
"password" : "YOUR PASSWORD",
"client_name" : "xxx",
"client_vendor" : "xxx"
}'
А на следующем шаге вы можете использовать API как задокументировано здесь такими вызовами:
curl --location --request GET 'https://YOUR.SITE/api/v1/projects' \
--header 'Content-Type: application/json' \
--header 'X-Angie-AuthApiToken: YOUR TOKEN'