В родительском компоненте оставьте ref
на дочернем компоненте, как у вас.
Родитель. vue
<ais-search-box ref="foo">
.....
</ais-search-box>
Детский. vue
<form action="" ......>
<input type="search" class="ais-SearchBox-input".. ref="childInput"> // add ref to the input field in the child component that you want to access
.......
</form>
Доступ к вводу в дочернем компоненте из дочернего компонента и установка на нем фокуса:
this.$refs.childInput.focus();
Доступ ко входу дочернего компонента из родительского компонента и установка на нем фокуса:
this.$refs.foo.$refs.childInput.focus();