Мне не совсем понятно, что вы пытаетесь сделать.
Подынтегральное выражение в вашем уравнении - это просто функция плотности вероятности (pdf) гамма-распределения с параметром формы k = nα и параметром масштаба θ = 1.
Integrating the Gamma pdf over the entire domain from 0 to infinity simply equates to 1. You can verify this numerically:
integrate(dgamma, 0, Inf, shape = 1, scale = 1)
#1 with absolute error < 5.7e-05
На последнем этапе вашего уравнения вы суммируете все значения n от 1 до бесконечности. Но интеграл не зависит от n, а сумма расходится
введите описание изображения здесь
Итак, если я неправильно понял ваш вопрос, левая часть выражения, которое вы даете, расходится.