Вы почти у цели ... Небольшое изменение в обратном вызове сортировки и готово:
let years = [
{ id: 3, name: '2016', age: 'None' },
{ id: 1, name: '2017', age: 'None' },
{ id: 2, name: '2015', age: 'None' },
{ id: 5, name: '2018', age: 'None' },
{ id: 3, name: '2018/2019', age: 'None' },
];
years.sort((c1, c2) => {
var n1 = c1.name;
var n2 = c2.name;
if(n1 > n2){return -1;
}else if(n2 > n1){ return 1;
}else{return 0;}
});
console.log(years);