Есть две проблемы:
В вашем console.log отсутствует «состояние».
console.log(this.state.searchMode)
Однако, если мы зарегистрируем его сейчас, вы получите устаревшее значение this.state.searchMode
. Это потому, что setState асинхронный. Однако setState принимает обратный вызов во втором параметре, который будет вызываться после завершения setState, чтобы вы могли зарегистрировать новое состояние. Обновите свой onPress следующим образом:
onPress={() => {
this.setState({searchMode: true}, () => console.log(this.state.searchMode))
}}