месяцев должны быть массивом Дат, вы можете использовать
months=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11].map(x=>new Date(2000,x,2))
И (видите, что я изменил [значение] на [значение] = "i")
<select>
<option *ngFor="let month of months;let i=index" [value]="i">
{{month | date: 'MMMM'}}
</option>
</select>