Предполагая, что вам нужен только один активный класс за раз, в родительском компоненте добавьте свойство данных для отслеживания активного элемента
data: () => ({
activeItem: null,
List: [] // whatever
})
В своем ChildLiComponent
вы можете создать событие, чтобы сигнализировать активация
setActive () {
this.$emit('add-active-class') // note the event name casing
}
и обработайте это в родительском шаблоне с привязкой класса к <li>
<li v-for="(item, i) in List" :class="{ active: activeItem === item }" :key="`li_${i}`">
<ChildLiComponent :key="`child_${i}`" @add-active-class="activeItem = item" />
</li>