Vulkan - это API отрисовки графики. Несмотря на то, что у него есть механизмы для рисования на некоторых частях экрана (ов), он может отображать только те части экрана (ов), на которые ему было предоставлено право доступа. Обычно это означает часть экрана (ов), ограниченную каким-либо окном, хотя существуют реализации, которые позволяют осуществлять рендеринг непосредственно на дисплей.
Но даже с ними вы бы перезаписали дисплей; чтение из такого изображения не требуется, чтобы вы могли получить доступ к чужим данным.
Если вы просто хотите сделать снимок экрана своего рабочего стола, вы должны использовать для этого механизм c, специфичный для ОС.