Поскольку английский sh не является моим родным языком, я не могу полностью понять эту фразу: when something got saved over prefabs
в вашем вопросе. Но как я понимаю вам нужно, чтобы кнопка пропадала, когда что-то игра уже запущена? Вы можете записать некоторую информацию в PlayerPrefs, например: PlayerPrefs.SetInt("showStartNewGameButton", -1) // or any other number except of 0
А затем вы можете проверить, равно ли "showStartNewGameButton" 0 (это значение по умолчанию), кнопка должна отображаться, в противном случае - нет.
Само исчезновение может быть реализовано деактивацией объекта следующим образом: button.gameObject.SetActive(false); // if you do want to show the button, you must it's true, not false