Вы не показываете нам каталог файла, который содержит HTML. Я предполагаю, что он находится под src/views.
Использование .. в пути указывает компилятору искать на один уровень вверх по дереву каталогов.
Если ваш файл находится в src/views, это означает, что src/views/.. оценивается как src/. Затем вы приказываете ему заглянуть в папку src/assets, и путь станет src/src/assets.
Вы видели двойной src?
Ваш относительный путь должен быть изменен на ../assets/img/notification-icon.png.
Однако использование относительных путей может быть утомительным. Я бы рекомендовал абсолютные пути ( при условии, что вы используете vue -cli )