Вы можете обернуть плоский список внутри View и переместить нижнюю часть, как показано ниже. Я поставил условие для стиля, чтобы индикатор активности отображался в центре.
<View style={DATA.length ? { marginTop: 'auto' } : null}>
<FlatList
ListEmptyComponent={
<ActivityIndicator
style={{ marginTop: 20 }}
size="large"
color="gray"
/>
}
data={DATA}
renderItem={({ item, index }) => (
<Message
key={index}
text={item.title}
uri={item.uri}
name={item.name}
time={item.time}
sticker={item.sticker}
anim={item.anim}
audio={item.audio}
link={item.link}
/>
)}
keyExtractor={(item) => item.id}
/>
</View>