Я хотел бы использовать MySQL в качестве источника данных при выборке контента во время рендеринга на стороне сервера, поэтому мне не нужно создавать внешний сервер API для извлечения данных из базы данных.
Vue js - язык на стороне клиента. Не для серверной стороны. Для доступа mySql Вам необходимо получить доступ через серверный язык, например php, nodeJs, python.
Вы также можете следовать официальной документации, чтобы лучше разбираться в рендеринге на стороне сервера https://vuejs.org/v2/guide/ssr.html