Я сам провел небольшое исследование и вот что я нашел:
$('#yourCarousel').on('slid.bs.carousel', function () {
var currentSlide = $('#yourCarousel div.active').index();
sessionStorage.setItem('lastSlide', currentSlide);
});
if(sessionStorage.lastSlide){
$("#yourCarousel").carousel(sessionStorage.lastSlide*1);
}
Вместо sessionStorage вы также можете использовать:
localStorage.setItem('lastSlide', currentSlide)