Наконец-то понял это для всех, кто сталкивается с проблемой. Каждый включенный файл, для которого требуются классы Carbon Fields, должен иметь в начале файла следующее:
require_once(WP_PLUGIN_DIR . '/carbon-fields/carbon-fields-plugin.php');
use Carbon_Fields\Container;
use Carbon_Fields\Field;
После этого вы можете запускать свои функции и тому подобное. Я добавляю дополнительный код в файл плагина расширения, чтобы убедиться, что плагин Carbon Fields активирован, чтобы ничего не сломалось.