В целях полноты следует указать путь .Net 3.5:
Предполагая
XDocument doc = XDocument.Parse(@"<weather time-layout='k-p24h-n7-1'>
<name>Weather Type, Coverage, and Intensity</name>
<weather-conditions weather-summary='Mostly Sunny'/></weather>");
Тогда либо
return doc.Element("weather").Element("weather-conditions").Attribute("weather-summary").Value;
Или
return doc.Descendants("weather-conditions").First().Attribute("weather-summary").Value;
даст вам тот же ответ.