EXE-файл для второго проекта должен иметь предсказуемое расположение относительно первого EXE-файла. Получить абсолютный путь к папке, содержащей ваш первый EXE-файл, очень просто:
string myPath = System.Reflection.Assembly.GetEntryAssembly().Location;
string myDir = System.IO.Path.GetDirectoryName(myPath);
Затем добавьте относительный путь вашего второго EXE-файла. Настоятельно рекомендуется хранить его в том же каталоге, что и 1-й:
string path = System.IO.Path.Combine(myDir, "project2.exe");
System.Diagnostics.Process.Start(path);
Самый простой способ заставить это работать хорошо как в среде IDE, так и на целевой машине, - позволить IDE копировать project2.exe. Щелкните правой кнопкой мыши проект1, Добавить ссылку, вкладку Проекты, выберите Проект2. Свойство Copy Local для ссылки будет иметь значение True, поэтому project2.exe окажется в том же каталоге, что и project1.exe