UITableView не предназначен для «запоминания» чего-либо (если вы правильно используете UITableViewCells, он может даже не «запоминать» то, что отображалось в ячейке, которая просто скрывалась во время прокрутки) - он «спрашивает» свой DataSource, какие данные отображать в ячейка для определенного пути индекса. Поэтому у вас должен быть отдельный класс (источник данных), который отвечает за «запоминание» имен строк и предоставление этих имен для отображения в табличном представлении.
Чтобы сохранить источник данных во время работы приложения, вы можете реализовать его как одноэлементный класс или сделать членом какого-либо другого класса (например, делегата приложения).