Задайте ему значение вне функции, затем измените его внутри функции:
go_btn.addEventListener(MouseEvent.CLICK, getPlayerName);
var playerName:String;
playerName = "nono";
playerName_txt.text = "blah";
function getPlayerName(e:MouseEvent)
{
playerName = playerName_txt.text;
}
trace(playerName);