Я знаю, что этот вопрос немного стар, но я не думаю, что вы получили ответ.
Я полагаю, что проблема в том, что класс ShowMe и его Timer собирают мусор и, следовательно, не могут делать то, что, как вы думаете, должны.
Вы создаете новую локальную переменную ShowMe, которая выходит из области видимости, как только завершается метод actionPerformed. Timer и его ActionListener являются локальными для экземпляра класса ShowMe, поэтому, когда метод actionPerformed завершается, они также становятся доступны для GC.
Я не уверен, что делает класс ShowMe. Похоже, что это JPanel, поэтому я предполагаю, что это то, что вы хотите отобразить. Похоже, что в вашем классе Test (или в реальном классе) может быть лучше иметь элемент данных ShowMe, который вы можете просто вызвать start один при нажатии кнопки, а не каждый раз создавать новый.