Этот диалог создается с помощью Намерения .
Вот немного исходного кода, который показывает, как это сделать для обмена пользовательским текстом.
Intent intent = new Intent(Intent.ACTION_SEND);
intent.setType("text/plain");
intent.putExtra(Intent.EXTRA_SUBJECT,"Subject");
intent.putExtra(Intent.EXTRA_TEXT, "Content ");
startActivity(Intent.createChooser(intent, ""));
Вызов createChooser в Intent позволяет ОС искать все действия, для которых в ACTION_SEND установлен фильтр намерений, с типом text / plain и указанными дополнениями. Все приложения, найденные для этого намерения, теперь отображаются в окне выбора.
Вам просто нужно найти правильный тип для вашего варианта использования и предоставить Intent необходимые данные.
Editet делится текстом, а не электронной почтой