Вы можете добавить его в избранное, как сказал Юлий, или вы можете создать себе канал, добавить плейлист в этот канал, а затем добавить видео аналогичным образом в плейлист.
Делая это таким образом, вы можете «увидеть» его из API (getplaylists, getplaylist) ... Но, если автор оригинала решит снять видео, то, конечно, оно исчезнет и со страницы вашего канала. (или, скорее, скажите «это видео было удалено пользователем»).
Вы не можете сохранить «копию» видео, как это.