Позже я нашел решение, и я хотел поделиться им. Решение можно найти здесь .
Выдержка из этой страницы:
... изменить стиль текстового поля. Поместите следующий код Xaml в App.xaml или другой ресурс:
<Style x:Key="TextBoxStyle" TargetType="TextBox">
<Setter Property="Template">
<Setter.Value>
<ControlTemplate TargetType="TextBox">
<Grid x:Name="RootElement">
<ScrollViewer x:Name="ContentElement" Background="{TemplateBinding Background}" Padding="{TemplateBinding Padding}" BorderThickness="0"/>
</Grid>
</ControlTemplate>
</Setter.Value>
</Setter>
</Style>
Затем установите стиль вашего текстового поля как "{StaticResource TextBoxStyle}" и установите для свойства IsReadOnly значение true, текстовое поле будет выглядеть как текстовый блок, но его можно скопировать.