ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Я не юрист.
Да, вы можете использовать Extjs на своем веб-сайте, не спрашивая разрешения (если вы его не распространяете). Есть много SO вопросов относительно GPL, поэтому я не буду вдаваться в подробности.
Если вы кодируете приложение для клиента, оно предназначено только для этой компании. Вам не нужно раскрывать свой исходный код. С другой стороны, вы делаете это, если создаете веб-приложение, которое вы продаете (или распространяете) нескольким компаниям.
Они действительно предлагают отличные продукты. Поэтому не стесняйтесь поддерживать их, покупая лицензию.