Вам нужно добавить дни к дате, прежде чем привести ее к строке. Попробуйте изменить
$(function()
{
$('.date-picker').datePicker({clickInput:true}).val(new Date().asString()).addDays(2).trigger('change');
});
до
$(function()
{
$('.date-picker').datePicker({clickInput:true}).val(new Date().addDays(2).asString()).trigger('change');
});
РЕДАКТИРОВАТЬ: Извините, не видел последнее требование, что сегодня и завтра не должны быть выбраны. Попробуйте
$(function()
{
$('.date-picker').datePicker({clickInput:true, startDate: new Date().addDays(2).asString()}).val(new Date().addDays(2).asString()).trigger('change');
});