В .NET нет ничего, что могло бы сделать это за вас, вам нужно выполнить работу самостоятельно.
При любом событии, которое приведет к сохранению: откройте файл, переберите содержимое списка, записав текст в файл, а затем закройте файл. Закрытие, конечно, может быть сделано через using
:
using (var tw = new StreamWriter(filename)) {
foreach (ListViewItem item in listView.Items) {
tw.WriteLine(item.Text);
}
}