Это действительно зависит от браузера. В более новых браузерах он будет использовать document.querySelectorAll для любых запросов DOM (под капотом это вызывает document.getElementsByClassName для классов). В старых браузерах, которые этого не поддерживают, он должен сам разобраться, что, очевидно, будет медленнее.
В общем, вы должны предпочесть сначала найти материал по id (или хотя бы сузить область видимости). Имена классов и тегов будут следующими по скорости. В основном, лучше всего поддерживаются собственные операции DOM.