Я знаю, что могу установить дату окончания срока действия cookie, но могу ли я сделать так, чтобы срок действия cookie истек через некоторое время ИЛИ, когда браузер закрыт?
Если вы установите дату истечения срока действия, это установит срок их действия на эту дату, независимо от того, открыт браузер или нет.
После закрытия браузера истекает срок хранения только непостоянных файлов cookie.
См. срок действия cookie правила для википедии.