Что именно вы имеете в виду? Вы имеете в виду, если у вас есть окна, открытые с того же веб-сайта, и вы выходите из системы в одном окне, вы не выходите из системы в другом окне? Я сомневаюсь в этом.
Конечно, вы не перенаправлены в другом окне на определенную страницу, потому что вы ничего не сделали в этом конкретном окне. Но если вы нажмете на ссылку, которая доступна только зарегистрированным пользователям, вы будете перенаправлены на страницу входа.
И нет, вы не можете обнаружить на стороне клиента, вышел ли пользователь с другого сайта, по крайней мере, без Ajax и некоторых пользовательских проверок.