Вы можете сделать так:
if (count($_POST['checkbox_name']) === 3)
{
// your code here.....
}
, где имена ваших флажков должны быть дополнены []
например:
<input type="checkbox" name="checkbox_name[]" value="1" />
<input type="checkbox" name="checkbox_name[]" value="2" />
<input type="checkbox" name="checkbox_name[]" value="3" />