При рисовании эллипса или круга с помощью OpenGL, сколько вершин мы должны использовать?

Question

Должны ли мы просто слепо использовать 360 вершин? 720, кажется, работает лучше, но где мы остановимся?

Answer 1

Это зависит от того, сколько ошибок вы можете допустить (то есть визуальное качество) и размера круга (эллипса). Большему кругу потребуется больше очков для достижения того же качества. Вы можете точно определить, сколько очков вам нужно для данной ошибки с небольшим количеством математики.

Если вы рассматриваете круг, представленный серией отрезков, конечные точки отрезков лежат точно на окружности (игнорируя пиксельную сетку). Наибольшее отклонение между реальным кругом и нашим представлением сегмента линии происходит в центре каждого сегмента линии, и эта ошибка одинакова для всех сегментов линии.

Если смотреть на первый сегмент оси x, идущий против часовой стрелки, его две конечные точки:

A = (r, 0)
B = (r . cos(th), r . sin(th))

, где r - радиус круга, а th - угол, охватываемый каждым отрезком линии (например, если у нас 720 точек, то каждый отрезок линии покрывает 0,5 градуса, поэтому th будет 0,5 градуса).

Середина этого отрезка находится на

M = A + (B - A) / 2
  = (r, 0) + (r (cos(th) - 1) / 2, r . sin(th) / 2)
  = (r / 2) . (1 + cos(th), sin(th))

и расстояние от начала координат до точки

l = (r / 2) . sqrt((1 + cos(th))^2 + (sin(th))^2)
  = (r / 2) . sqrt(2) . sqrt(1 + cos(th))

Если бы наше представление сегмента линии было совершенным, тогда эта длина должна быть равна радиусу (средняя точка сегмента линии должна находиться на окружности). Обычно будет некоторая ошибка, и эта точка будет немного меньше радиуса. Ошибка

e = r - l
  = r . (1 - sqrt(2) . sqrt(1 + cos(th)) / 2)

Переупорядочение, поэтому мы имеем th с точки зрения e и r

2 . e / r = 2 - sqrt(2) . sqrt(1 + cos(th))
sqrt(2) . sqrt(1 + cos(th)) = 2 . (1 - e / r)
1 + cos(th) = 2 . (1 - e / r)^2

th = arccos(2 . (1 - e / r)^2 - 1)

Это позволяет нам рассчитать максимальный угол, который мы можем иметь между каждой точкой для достижения определенной ошибки. Например, предположим, что мы рисуем круг с радиусом 100 пикселей, и мы хотим, чтобы максимальная ошибка составляла 0,5 пикселя. Мы можем рассчитать

th = arccos(2 . (1 - 0.5 / 100)^2 - 1))
   = 11.46 degrees

Это соответствует ceil(360 / 11.46) = 32 баллам. Поэтому, если мы нарисуем круг радиуса 100, используя 32 точки, наш худший пиксель будет смещен менее чем на половину, что должно означать, что каждый нарисованный нами пиксель будет в правильном месте (игнорируя наложение).

Этот вид анализа может быть выполнен и для эллипсов, но в духе всей хорошей математики, оставляемой в качестве упражнения для читателя;) (единственное различие заключается в определении того, где происходит максимальная ошибка).

Answer 2

столько, сколько требует разрешение, которое вы используете, или столько, сколько визуальный результат требует точного представления. Трудно сказать, и в основном зависит от того, чего вы хотите достичь. В программе CAD наличие круга, визуально похожего на восьмиугольник, может раздражать. С другой стороны, если вы программируете игру на iphone, если колесо автомобиля выглядит как восьмиугольник, это не имеет большого значения.

Возможная стратегия, которую вы могли бы использовать, состоит в том, чтобы оценить длину каждого сегмента относительно разрешения текущего вида и, если, например, больше 3 пикселей, увеличить количество используемых вами вершин, но только для видимой сегменты. Таким образом, вы увеличиваете разрешение при увеличении, но вам не нужно описывать вершины, которые вы не собираетесь рисовать.