Предполагая, что вы запускаете свой код в Mono в Linux, вы должны иметь возможность сделать что-то вроде этого:
System.Diagnostics.Process proc = new System.Diagnostics.Process();
proc.StartInfo.FileName = "myscript.sh";
proc.Start();
Я вижу, вы добавили, что вам нужно иметь возможность анализировать выходные данные из сценария оболочки. Взгляните на этот более сложный пример, который показывает, как получить выходные данные скрипта.
Трудно дать совет о том, как на самом деле анализировать вывод, так как вы не даете нам пример того, как выглядит вывод.