Обновление: Как тонко указывает Quassnoi, вам необходимо срочно обезопасить свой ввод. См. Главу SQL-инъекция в руководстве по PHP.
Запрос не выполнен, потому что в конце строки есть лишняя запятая:
$sqlsubmit ="INSERT INTO user VALUES
('','$firstname','$lastname','$username','$password','$email','$date',)";
Используйте echo mysql_error();
, чтобы обнаружить такие ошибки.
Кроме того, сообщение об успешном выполнении получает вывод, независимо от того, не выполнен запрос или нет.
Вы хотите добавить условие:
if (mysql_query($sqlsubmit))
echo "successfully submitted ...";
else
echo "error submitting ..... ".mysql_error();