Я думаю, что ваша проблема в том, что когда вы запускаете Solr, вы запускаете его как консольный процесс, а не как демон. Поэтому, когда вы выходите из системы, это убивает процесс Java! Это можно сделать несколькими способами: от использования такого инструмента, как «экран», чтобы сохранить запущенные процессы консоли при выходе из системы, до использования таких команд, как nohup или java -jar start.jar &, для отправки этих процессов в фоновый режим.
Однако, что вам действительно нужно сделать, это установить Tomcat или Jetty в качестве службы демона на вашем VPS. Вы можете иметь возможность, чтобы ваш VPS-хостинг сделал это для вас.
Что касается вашей аппаратной настройки, я думаю, что если у вас нет гинормозного индекса или действительно загруженного сайта, 512 ОЗУ должно быть достаточно для запуска веб-сайта в стиле LAMP и Solr. Одна приятная вещь о том, что Solr основан на HTTP, заключается в том, что вы можете быстро переместить свой сервер Solr на другой VPS при увеличении нагрузки!
Я бы связался с вашим провайдером VPS и спросил, поддерживается ли Java / рекомендуется ли это. Если это так, вы можете пойти, если нет, тогда вам нужен хороший Java, поддерживающий VPS!