Самый простой - это иметь каталог с именем watch и файл index.php внутри этого каталога. Тогда / watch будет обслуживать файл index.php, и, в свою очередь, ваш скрипт index.php получит параметр запроса v.
Более надежный, но сложный способ сделать это - использовать mod_rewrite для перезаписи /watch.php в / watch
Я не проверял, но такое правило может помочь, вы поместите этот код в ваш файл .htaccess
RewriteEngine On
RewriteBase /
RewriteCond %{REQUEST_URI} ^/watch$
RewriteRule ^/watch$ watch.php