Какой язык программирования или библиотека могут обрабатывать Infinite Series?

Question

Какой язык программирования или библиотека способны обрабатывать бесконечные серии (например, геометрические или гармонические)? Возможно, он должен иметь базу данных известных рядов и автоматически давать правильные значения в случае сходимости, а может генерировать исключение в случае расхождения.

Например, в Python это может выглядеть так:

sum  = 0
sign = -1.0
for i in range(1,Infinity,2):
     sign = -sign
     sum += sign / i

тогда сумма должна быть math.pi / 4 без каких-либо вычислений в цикле (потому что это известная сумма).

Answer 1

Большинство функциональных языков, которые лениво оценивают, могут моделировать обработку бесконечных рядов. Конечно, на конечном компьютере невозможно обрабатывать бесконечные серии, как я уверен, вы знаете. Наверху, я думаю, Mathematica может сделать большинство того, что вы можете, я подозреваю, что Клен тоже может, может быть Sage и другие алгебраических систем, и я был бы удивлен, если бы вы не смогли найти подходящую вам реализацию на Haskell.

РЕДАКТИРОВАТЬ, чтобы уточнить для ОП: Я не предлагаю генерировать бесконечные циклы. Ленивая оценка позволяет вам писать программы (или функции), которые моделируют бесконечные ряды, программы, которые сами по себе конечны во времени и пространстве. С такими языками вы можете определить многие свойства, такие как сходимость, моделируемых бесконечных рядов со значительной точностью и некоторой степенью достоверности. Попробуйте Mathematica или, если у вас нет к нему доступа, попробуйте Wolfram Alpha , чтобы узнать, что одна система может сделать для вас.

Answer 2

Одним из мест для поиска может быть категория Википедии Системы компьютерной алгебры .

Answer 3

Для этого в Haskell есть два инструмента, помимо поддержки бесконечных списков.

Во-первых, есть модуль, который поддерживает поиск последовательностей в OEIS.Это может быть применено к первым нескольким терминам вашей серии и может помочь вам определить серию, для которой вы не знаете закрытую форму и т. Д. Другой является библиотека вычисляемых реалов CReal.Если у вас есть возможность генерировать постоянно улучшающуюся границу для вашего значения (т. Е. Суммируя по префиксу, вы можете объявить это как вычисляемое действительное число, которое допускает частичное упорядочение и т. Д. Во многих случаях это дает вам значение, которое вы можетеиспользуйте, как указано выше.

Однако в общих вычислениях равенство двух потоков требует оракула для решения проблемы остановки, поэтому ни один язык не будет делать то, что вы хотите в полной общности, хотя некоторые системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, могут попробовать.

Answer 4

Максима может вычислить некоторые бесконечные суммы, но в данном конкретном случае, похоже, не находит ответа: -s

(%i1) sum((-1)^k/(2*k), k, 1, inf), simpsum;
                                 inf
                                 ====       k
                                 \     (- 1)
                                  >    ------
                                 /       k
                                 ====
                                 k = 1
(%o1)                            ------------
                                      2

, но, например, эти работы:

(%i2) sum(1/(k^2), k, 1, inf), simpsum;
                                        2
                                     %pi
(%o2)                                ----
                                      6

(%i3) sum((1/2^k), k, 1, inf), simpsum;
(%o3)                                  1

Answer 5

Вы можете решить проблему серии в Sage (бесплатная математическая система на основе Python) следующим образом:

sage: k = var('k'); sum((-1)^k/(2*k+1), k, 1, infinity)
1/4*pi - 1

За кулисами действительно используется Maxima (компонент Sage).

Answer 6

Для Python посмотрите SymPy - клон Mathematica и Matlab.

Существует также более тяжелый математический инструмент на основе Python, называемый Sage .

Answer 7

Вам нужно что-то, что может сделать символическое вычисление, например Mathematica . Вы также можете рассмотреть вопрос: wolframaplha: sum ((- 1) ^ i * 1 / i, i, 1, inf)

Answer 8

Библиотека C ++ iRRAM выполняет реальную арифметику точно . Помимо прочего, он может вычислять лимиты точно, используя функцию limit. Домашняя страница для iRRAM здесь . Ознакомьтесь с функцией предела в документации. Обратите внимание, что я не говорю о произвольной точности арифметики. Это точная арифметика, для разумного определения точного. Вот их код для точного вычисления e, взятый из примера на их веб-сайте:

//---------------------------------------------------------------------
// Compute an approximation to e=2.71.. up to an error of 2^p
 REAL e_approx (int p)
{
  if ( p >= 2 ) return 0;

  REAL y=1,z=2;
  int i=2;
  while ( !bound(y,p-1) ) {
    y=y/i;
    z=z+y;
    i+=1;
  }
  return z;
};

//---------------------------------------------------------------------
// Compute the exact value of  e=2.71.. 
REAL e()
{
  return limit(e_approx);
};

Answer 9

Существует библиотека mpmath (python), модуль sympy, которая обеспечивает поддержку серии для sympy (я полагаю, она также поддерживает sage).
Более конкретно, все материалы серии можно найти здесь: Документация серии

Answer 10

Clojure и Haskell с макушки головы.

Извините, я не смог найти лучшую ссылку на последовательности haskell, если у кого-то еще есть, пожалуйста, дайте мне знать, и я обновлю.