Вы можете использовать OAuth. Это направит пользователя в Twitter для аутентификации и авторизации вашего приложения для действий от его имени. Затем он даст вам токен, который вы можете использовать для выполнения вызовов API для этого пользователя.
Это не очень простая вещь для реализации и может быть больше проблем, чем стоит для вашей ситуации, но вариант есть. Ищите библиотеку для выбранной вами платформы, они существуют для большинства языков.