Плитки - это просто фрагменты одной HTML-страницы. Там нет понятия AJAX, если вы не добавите его вручную. Для этого: нажатие 4 кнопок на одной странице будет таким же, как нажатие 4 ссылок на любой HTML-странице. Браузер отправит соответствующий запрос на сервер. Когда сервер отвечает очень быстро, у вас даже не будет времени нажать вторую кнопку. Когда он достаточно медленный, первый запрос (от браузера к серверу) будет отменен, а второй (третий, четвертый) будет отправлен (и отменен при нажатии следующей кнопки).
Остальное зависит от реализации бэкэнда: в какой-то момент сервер заметит, что не может отправить данные обратно для 3 из 4 запросов. То, что будет отображаться в последнем (открытом) ответе, также зависит от вашей реализации. Если имеется какое-либо состояние на стороне сервера, содержащее ответ веб-служб, могут отображаться все 4 результата. Если один веб-сервис еще не вернулся, могут отображаться только 3 результата и одна старая плитка.