Вы можете сделать это так:
string tmp = "Hello 'World'";
tmp.replace("'", "");
Но это только заменит одинарные кавычки. Чтобы заменить двойные кавычки, вы должны сначала их избежать, например:
string tmp = "Hello, \"World\"";
tmp.replace("\"", "");
Вы можете заменить его пробелом или просто оставить его пустым (я думаю, вы хотели, чтобы он был пустым, но заголовок вашего вопроса подразумевает иное.