Просто для завершения предыдущих ответов, которые не позволили решить проблему в моем случае.
Я работаю с Android 4.1.1. Мое приложение использует локальное хранилище в Webview, и у меня возникла та же проблема, что и в первоначальном вопросе: локальное хранилище работает нормально, пока я не убью приложение. В этом случае данные были потеряны.
Вдохновляя меня предыдущими ответами, и особенно @diyism, я смог решить мою проблему с помощью:
String databasePath = this.getApplicationContext().getDir("databases", Context.MODE_PRIVATE).getPath();
settingsMenu.setDatabasePath(databasePath);
На самом деле, как написано в документации setDatabasePath (): to function correctly, this method must be called with a path to which the application can write
.