Чтобы ответить на исходный вопрос - существуют различные способы сделать это, но следующее будет самым простым.
Если у вас уже есть дескриптор дочернего узла, который вы хотите удалить, то есть у вас есть переменная JavaScript, которая содержит ссылку на него:
myChildNode.parentNode.removeChild(myChildNode);
Очевидно, что если вы не используете одну из многочисленных библиотек, которые уже делают это, вы захотите создать функцию для абстрагирования:
function removeElement(node) {
node.parentNode.removeChild(node);
}
РЕДАКТИРОВАТЬ: Как уже упоминалось другими: если у вас есть какие-либо обработчики событий, подключенные к узлу, который вы удаляете, вы должны убедиться, что вы отключите их, прежде чем последняя ссылка на удаляемый узел выходит из области видимости, чтобы в плохих реализациях интерпретатора JavaScript не было утечки памяти.